Hoewel deze balk vijf beperkingen presenteert ( $ X_A $ , $ Y_A $ , $ M_A $ , $ Y_F $ , $ Y_G $ ) , het is in feite statisch bepaald. Een statisch onbepaalde structuur is er een waarin er meer onbekenden zijn (in dit geval beperkingen) dan dat er statische evenwichtsvergelijkingen zijn. Meestal heeft men drie vergelijkingen: $ \ sum F_X = 0 $ , $ \ sum F_Y = 0 $ , $ \ som M_? = 0 $ (waarbij $? $ een willekeurig punt is). Scharnieren geven ons echter elk een extra vergelijking: $ \ sum M_ {h \ pm} = 0 $ , waarbij $ h \ hspace {-2pt} \ pm $ is een kant van het scharnier (links of rechts), zoals in deze vraag. Dit verschilt van de globale nulbuigmomentvergelijking die alle krachten aan weerszijden van het scharnier in aanmerking neemt. De twee extra vergelijkingen van de scharnieren bij $ C $ en $ E $ toevoegen aan het drie globale evenwicht vergelijkingen, we hebben daarom evenveel vergelijkingen als contraints (5), en kunnen dit probleem daarom op traditionele wijze oplossen.

Dat gezegd hebbende, is er een veel eenvoudiger manier om dit te doen die volledig hands-on is, zonder rekenhulp .

Voor deze hands-on benadering moet men het dubbele scharnier in de span $ \ overline {CE} $ . Dit betekent dat het buigmoment bij $ C $ en $ E $ nul moet zijn, net als bij een eenvoudig ondersteunde ligger (een meer diepgaande uitleg waarom deze vergelijking geldig is, is te zien aan het einde).

Laten we die balk dus vervangen door de volgende stukken (merk op dat de belastingen op $ C $ en $ E $ worden voorlopig leeg gelaten):

Het oplossen van de straal die $ \ vertegenwoordigt overline {CE} $ is triviaal. Voorlopig hebben we alleen de reacties nodig, die bij elke ondersteuning gelijk zijn aan $ 3 \ text {kN} $ .

Haal nu die reacties op en gooi ze naar de andere stukken en onthoud dat er in $ C $ ook de geconcentreerde $ 2 \ text {kN} $ kracht, die moet worden toegevoegd. We hebben daarom:

De andere stukken zijn ook isostatisch en kunnen triviaal worden opgelost (ervan uitgaande dat men weet hoe interne krachten van isostatisch structuren). De resulterende interne krachten zijn (ik veranderde de ondersteuning op $ G $ alleen om dat stuk stabiel te maken voor horizontale krachten, wat in dit geval niets verandert):

Bij het samenstellen van deze diagrammen zijn ze identiek aan die verkregen door de originele balk:

Een eenvoudige reden waarom de vergelijking kan worden gemaakt tussen die dubbele scharnieren en een eenvoudig ondersteunde ligger, is omdat dit het basisprincipe is achter Gerber-liggers (wat in feite is wat $ \ overline {CE} $ vertegenwoordigt). Het zijn balken die op andere balken rusten (zie voorbeeld hier, waar de balken rechts en links Gerber balken zijn) en die daarom van de rest van de constructie kunnen worden 'opgetild', opgelost en dan worden hun reacties verdeeld over de rest van de structuur. Men hoeft zich geen zorgen te maken over de invloed van externe krachten of de naburige balken die dwarskrachten doorgeven vanwege het feit dat het buigmoment nul moet zijn aan elk uiteinde van de Gerber-balk. Dit betekent dat de integraal van de afschuiving langs de Gerber-balk nul moet zijn, wat alleen kan gebeuren als alleen de belastingen binnen de balk en de reacties aan de uiteinden worden beschouwd.

Het programma dat ik voor deze diagrammen heb gebruikt was Ftool, een gratis hulpprogramma voor 2D-frameanalyse.

Ik neem aan dat je weet hoe je de reacties kunt vinden, maar je bent gewoon niet zeker van de twee scharnieren bij C en E, want dat lijkt je grootste zorg. Als je niet zeker weet hoe je de reacties moet berekenen, kan ik dit later toevoegen. Ik heb SkyCiv Beam gebruikt om de reacties te vinden:

Zoals je kunt zien, zijn deze reacties prima in balans:

$$ \ som F_y = 11 + 10 + 5 - (6 + 2 + 6 + 2 \ times6) = 26 - 26 = 0 \ text {kN} \\\ som M_A = -32 +6 (2) +2 (4) +6 (5) +12 (11) - 10 (8) -5 (14) = 0 \ text {kN.m} $$

Nu maakt het eigenlijk niet uit of je kies ervoor om de puntbelasting van 2 kN op scharnier C op staaf AC of CE op te nemen. Neem het gewoon op in het free body-diagram (FBD) voor het ene lid of het andere (NIET beide!).

Laten we de puntbelasting van 2 kN bij C laten werken op het rechteruiteinde van lid AC, niet op de linker uiteinde van staaf CE. Onthoud dat een moment NIET ondersteund kan worden bij het scharnier C:

$$ \ sum F_y = 0 \\ 11 - 6 - 2 + H_C = 0 \\\ dus H_C = 3 \ text {kN} $$

Beschouw nu lid CE (wederom geen moment bij C of E). De kracht Hc moet in de tegenovergestelde richting zijn als die gevonden in de FBD voor lid AC:

$$ \ sum F_y = 0 \\ H_C + H_E -6 = 0 \\ 3 + H_E - 6 = 0 \\\ dus H_E = 3 \ text {kN} $$

Overweeg ten slotte lid EG om te bevestigen dat alles in evenwicht is prima (opnieuw moet de kracht op E tegengesteld zijn aan die in de FBD voor lid CE):

$$ \ sum F_y = -H_E + 10 + 5 - 12 = -3 + 10 + 5 - 12 = 0 \ text {} \ vinkje $$

Laten we naar het dwarskrachtdiagram (SFD) hieronder kijken en begrijpen waarom het niet echt uitmaakt op welk lid de 2 kN puntbelasting inwerkt. We hebben eerder opgelost dat op punt C de schuifkracht Hc = 3 kN was. Zoals je kunt zien in de SFD zijn er TWEE waarden op punt C (x = 4m): 5 kN en 3 kN. Het verschil tussen deze waarden is duidelijk de puntbelasting van 2 kN. Als we de puntbelasting in ons diagram voor staaf CE hadden opgeteld in plaats van staaf AC, dan hadden we de dwarskracht op punt C opgelost tot Hc = 5 kN. U kunt het dus in elk lid opnemen en het zal correct zijn - neem het gewoon niet op in beide leden.

SkyCiv Beam is best handig voor dergelijke analyses en het is een goede manier om uw logica, antwoorden en uitwerking te controleren. Het lost ook het buigmomentdiagram (BMD) op als je het nodig hebt, plus doorbuiging, onder andere spanning.